Bab ini adalah tentang cara menghitung kemungkinan dan peluang terjadinya suatu peristiwa. Kemampuan ini sangat berguna dalam statistik, pengambilan keputusan, hingga algoritma komputer.
1. Kaidah Pencacahan (Counting Rules)
Sebelum masuk ke rumus rumit, ada dua aturan dasar yang wajib Anda kuasai:
- Aturan Penjumlahan: Digunakan untuk kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan (pilihan).
- Contoh: Anda punya 3 mobil dan 2 motor. Banyak cara pergi ke sekolah dengan salah satu kendaraan adalah 3 + 2 = 5 cara.
- Aturan Perkalian: Digunakan untuk kejadian yang berurutan atau berpasangan.
- Contoh: Anda punya 3 baju dan 2 celana. Banyak cara berpakaian adalah 3 x 2 = 6 pasangan.
2. Faktorial (simbol !)
Faktorial adalah dasar perhitungan kombinatorik. n! artinya perkalian bilangan bulat positif berurutan dari n sampai 1.
- Contoh: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
- Catatan Khusus: 0! = 1 dan 1! = 1.
3. Permutasi vs Kombinasi
Ini adalah bagian yang paling sering tertukar. Kuncinya ada pada URUTAN.
A. Permutasi (Urutan Diperhatikan)
Digunakan jika posisi atau jabatan sangat penting (contoh: memilih Ketua, Sekretaris, Bendahara).
- Rumus: P(n, r) = n! / (n - r)!
- Permutasi Siklis: Digunakan untuk objek yang duduk melingkar.
- Rumus: (n - 1)!
B. Kombinasi (Urutan TIDAK Diperhatikan)
Digunakan jika posisi tidak penting (contoh: memilih anggota tim, memilih buah, mengambil kartu secara acak).
- Rumus: C(n, r) = n! / ( (n - r)! x r! )
4. Teori Peluang (Probability)
Peluang adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu kejadian terjadi. Nilainya selalu di antara 0 (mustahil) sampai 1 (pasti).
A. Peluang Kejadian A
P(A) = n(A) / n(S)
- n(A) = Banyaknya kejadian yang diinginkan.
- n(S) = Banyaknya seluruh kemungkinan (Semesta).
B. Frekuensi Harapan (Fh)
Berapa kali suatu kejadian diharapkan muncul jika percobaan dilakukan berkali-kali (n kali).
- Fh = P(A) x n
5. Peluang Kejadian Majemuk
A. Kejadian Saling Lepas (Kata hubung "ATAU")
Dua kejadian yang tidak bisa terjadi bersamaan.
- P(A atau B) = P(A) + P(B)
B. Kejadian Saling Bebas (Kata hubung "DAN")
Terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B.
- P(A dan B) = P(A) x P(B)
- Contoh: Melempar satu koin dan satu dadu sekaligus.
Tips Ampuh Menjawab Soal
- Baca Soal Pelan-pelan: Cari kata kuncinya. Jika ada jabatan (Ketua/Juara), gunakan Permutasi. Jika hanya memilih grup (Tim/Kelompok), gunakan Kombinasi.
- Daftar Semestanya (n(S)): Selalu cari tahu total kemungkinan terlebih dahulu sebelum menghitung peluang.
- Hati-hati dengan Pengembalian: Dalam soal mengambil bola, perhatikan apakah bola "dikembalikan" atau "tidak dikembalikan" karena ini akan mengubah nilai n(S).
Contoh Singkat
Dalam sebuah kotak ada 5 bola merah dan 3 bola biru. Diambil 2 bola secara acak. Berapa banyak cara memilih bola jika warna tidak diperhatikan?
Jawaban:
Karena urutan ambil tidak penting (kombinasi) dan total bola ada 8:
- C(8, 2) = 8! / ( (8-2)! x 2! )
- C(8, 2) = (8 x 7) / (2 x 1)
- C(8, 2) = 28 cara.
Jadi ada 28 cara memilih bola jika warna tidak diperhatikan