Bab ini merupakan salah satu pondasi penting dalam matematika lanjut. Artikel ini akan membahas tuntas mulai dari pengertian, operasi aljabar, hingga teorema sisa dan teorema faktor secara sederhana.
1. Pengertian Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel, koefisien, dan eksponen (pangkat). Bentuk umum polinomial berderajat n adalah:
aₙ xⁿ + aₙ₋₁ xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀
Keterangan:
- Derajat (n): Pangkat tertinggi dari variabel dalam suku banyak.
- Variabel (x): Lambang pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya.
- Koefisien (a): Bilangan yang menyertai atau menempel pada variabel.
- Konstanta (a₀): Suku yang berdiri sendiri tanpa variabel.
2. Operasi Aljabar pada Polinomial
Operasi polinomial mengikuti aturan aljabar dasar, namun dengan ketelitian pada pangkat:
- Penjumlahan & Pengurangan: Hanya bisa dilakukan pada suku yang memiliki variabel dan pangkat yang sama (suku sejenis).
- Perkalian: Mengalikan setiap suku secara distributif. Ingat aturan eksponen: jika variabel yang sama dikalikan, maka pangkatnya dijumlahkan (xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ).
3. Pembagian Polinomial
Ada dua metode utama yang sering digunakan untuk menyelesaikan pembagian suku banyak:
A. Metode Pembagian Bersusun
Cara ini mirip dengan pembagian angka biasa (porogapit). Metode ini sangat efektif untuk semua jenis pembagi, baik linear maupun bentuk kuadrat (pangkat dua).
B. Metode Horner (Sintetik)
Metode ini jauh lebih cepat dan ringkas karena hanya menggunakan koefisien angka saja.
Tips: Gunakan metode Horner jika pembaginya berbentuk linear seperti (x - k) atau (ax + b).
4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor
Teorema Sisa
Jika suatu polinomial f(x) dibagi oleh (x - k), maka sisa pembagiannya adalah nilai dari f(k).
- Jika pembaginya adalah (ax - b), maka sisanya adalah f(b/a).
Teorema Faktor
Suku (x - k) disebut sebagai faktor dari f(x) jika dan hanya jika sisanya adalah nol atau f(k) = 0.
- Catatan: Jika sisanya 0, maka angka tersebut adalah akar dari persamaan suku banyak tersebut.
5. Hubungan Akar-Akar (Teorema Vieta)
Untuk polinomial derajat tiga (ax³ + bx² + cx + d = 0), berlaku hubungan antar akar-akarnya (x₁, x₂, x₃):
- Penjumlahan akar: x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
- Perkalian dua akar: (x₁·x₂) + (x₁·x₃) + (x₂·x₃) = c/a
- Perkalian tiga akar: x₁ · x₂ · x₃ = -d/a
Itulah rangkuman materi Polinomial kelas 11 SMA. Kunci menguasai bab ini adalah ketelitian dalam menghitung tanda positif (+) dan negatif (-), terutama saat menggunakan metode Horner.
Contoh Soal Polinomial
Soal: Tentukan sisa pembagian f(x) = x³ - 2x² + 5 oleh (x - 1).
Jawaban:
Menggunakan Teorema Sisa,
kita cukup memasukkan nilai x = 1 ke dalam fungsi:
- f(1) = (1)³ - 2(1)² + 5
- f(1) = 1 - 2 + 5
- f(1) = 4
Jadi, sisa pembagian dari fungsi tersebut adalah 4.