Halo sobat pelajar! Pernahkah kamu membayangkan hasil dari akar bilangan negatif? Di tingkat SMP, kita diajarkan bahwa akar dari bilangan negatif tidak ada hasilnya. Namun di sini kita akan mengenal solusinya dalam Bab 4 : Bilangan Kompleks.
Yuk, simak rangkuman lengkap dan mudahnya di bawah ini.
Apa Itu Bilangan Kompleks?
Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian: Bagian Riil dan Bagian Imajiner. Bilangan ini muncul karena kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan matematika yang tidak memiliki solusi di himpunan bilangan riil, seperti akar dari -1.
1. Satuan Imajiner (i)
Dasar dari bilangan kompleks adalah lambang i (imajiner), di mana:
i = √-1
i² = -1
2. Bentuk Umum Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks biasanya dilambangkan dengan huruf z.
z = a + bi
- a adalah bagian riil, ditulis Re(z).
- b adalah bagian imajiner, ditulis Im(z).
- i adalah satuan imajiner.
Contoh: Pada bilangan z = 3 + 4i, maka bagian riilnya adalah 3 dan bagian imajinernya adalah 4.
Operasi Dasar Bilangan Kompleks
Menghitung bilangan kompleks sebenarnya mirip dengan aljabar biasa. Kuncinya hanya satu: pisahkan antara yang riil dan yang imajiner.
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Cukup jumlahkan atau kurangkan bagian yang sejenis.
- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
B. Perkalian
Gunakan metode pelangi (distributif). Ingat bahwa i² = -1.
Contoh :
(2 + i)(3 + i) = 6 + 2i + 3i + i²
= 6 + 5i + (-1)
= 5 + 5i
= 6 + 5i + (-1)
= 5 + 5i
C. Konjugat (Bilangan Sekawan)
Konjugat dari z = a + bi adalah z̅ = a - bi. Kita hanya perlu mengubah tanda di depan bagian imajiner. Ini sangat berguna untuk pembagian bilangan kompleks.
Bentuk-Bentuk Bilangan Kompleks
Selain bentuk standar (Kartesius), ada dua bentuk lain yang sering dipelajari:
- Bentuk Kartesius: z = a + bi
- Bentuk Polar: z = r(cos θ + i sin θ)
- Bentuk Eksponen: z = r · eⁱᶿ
(Keterangan: r adalah modulus, e adalah bilangan Euler, i adalah satuan imajiner, dan θ adalah sudut atau argumen).
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal: Tentukan hasil dari (4 + 2i) - (2 - 5i)!
Pembahasan:
- Buka kurung: 4 + 2i - 2 + 5i (ingat: minus ketemu minus jadi plus)
- Kelompokkan: (4 - 2) + (2i + 5i)
- Hasil: 2 + 7i
Soal Latihan dan Jawaban
Tips Belajar untuk Siswa
- Jangan bingung dengan 'i': Anggap saja 'i' itu seperti variabel 'x' dalam aljabar, tapi ingat kalau dikuadratkan hasilnya jadi -1.
- Gambar di Bidang Kompleks: Bayangkan bagian riil sebagai sumbu X dan bagian imajiner sebagai sumbu Y. Ini akan memudahkanmu memahami Modulus dan Argumen.
Bilangan kompleks bukan sekadar angka khayalan. Materi ini sangat penting dalam ilmu teknik, fisika, dan desain grafis. Dengan memahami Bab 4 ini, kamu sudah selangkah lebih maju dalam menguasai Matematika tingkat lanjut.