Selamat datang di jenjang kelas 11! Bab pertama yang akan kita bedah adalah Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Materi ini sangat krusial karena sering muncul dalam soal seleksi masuk perguruan tinggi. Yuk, simak penjelasan lengkapnya.
1. Memahami Konsep Fungsi (Review)
Sebelum melangkah jauh, ingat kembali bahwa fungsi adalah relasi yang memetakan setiap anggota himpunan asal (Domain) tepat satu ke anggota himpunan kawan (Kodomain).
2. Fungsi Komposisi: "Fungsi di Dalam Fungsi"
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua jenis fungsi sehingga menghasilkan fungsi baru. Bayangkan seperti sebuah mesin produksi; bahan baku masuk ke mesin pertama (g), hasilnya dimasukkan lagi ke mesin kedua (f).
Simbol dan Penulisan:
- (f ∘ g)(x): Dibaca "f komposisi g" atau "f bundaran g".
- Artinya, fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, baru hasilnya dimasukkan ke fungsi f.
- Rumus:
- (f ∘ g)(x) = f(g(x))
- (g ∘ f)(x):
- Artinya fungsi f dikerjakan terlebih dahulu.
- Rumus:
- (g ∘ f)(x) = g(f(x))
Penting: Fungsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif. Artinya (f ∘ g)(x) tidak sama dengan (g ∘ f)(x).
3. Fungsi Invers: "Jalan Pulang"
Jika fungsi adalah perjalanan dari A ke B, maka Invers adalah perjalanan pulang dari B ke A. Invers disimbolkan dengan f⁻¹(x).
Syarat Fungsi Memiliki Invers: Sebuah fungsi hanya memiliki invers jika fungsi tersebut adalah Korespondensi Satu-satu (Bijektif).
Cara Mencari Invers Fungsi:
- Ubah bentuk f(x) menjadi y.
- Pindahkan ruas hingga variabel x berdiri sendiri di satu sisi.
- Ganti variabel x menjadi f⁻¹(y).
- Terakhir, ganti semua variabel y menjadi x.
4. Invers dari Fungsi Komposisi
Bagaimana jika fungsi yang sudah digabung ingin dikembalikan ke asalnya?
- (f ∘ g)⁻¹(x) = (g⁻¹ ∘ f⁻¹)(x)
- Tips : Perhatikan urutannya. Saat diinvers, urutan fungsinya jadi berbalik (g dulu baru f).
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal: Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x².
Tentukan (f ∘ g)(x) dan f⁻¹(x) !
Jawaban:
- Mencari (f ∘ g)(x): (f ∘ g)(x) = f(g(x)) (f ∘ g)(x) = f(x²) (f ∘ g)(x) = 2x² + 3
- Mencari f⁻¹(x): y = 2x + 3 y - 3 = 2x x = (y - 3) / 2 Jadi, f⁻¹(x) = (x - 3) / 2