Rangkuman Materi Matematika Kelas 10 SMA Bab 5 : Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Berbeda dengan SMP yang hanya dua variabel (x, y), di SMA kita menambahkan satu dimensi lagi, yaitu z. Bentuk umumnya adalah:

• a₁x + b₁y + c₁z = d₁
• a₂x + b₂y + c₂z = d₂ 
• a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Strategi Penyelesaian Efektif:

• Metode Eliminasi: Menghilangkan salah satu variabel (misal z) dari dua pasang persamaan sehingga menjadi SPLDV (dua variabel).
• Metode Substitusi: Mengubah satu persamaan menjadi bentuk tunggal (misal x = ...) lalu memasukkannya ke persamaan lain.
• Metode Campuran: Cara paling populer. Lakukan eliminasi dulu untuk menyederhanakan, lalu gunakan substitusi untuk menemukan nilai variabel sisanya.

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Materi ini berfokus pada Daerah Penyelesaian (DP) yang biasanya disajikan dalam bentuk grafik/arsiran pada koordinat Kartesius.

Tanda Ketidaksamaan & Jenis Garis:

• Garis Tegas (—): Digunakan untuk tanda ≤ atau ≥ (artinya angka pada garis termasuk solusi).
• Garis Putus-putus (---): Digunakan untuk tanda < atau > (artinya angka pada garis tidak termasuk solusi).

Langkah Menentukan Daerah Arsiran:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan sementara untuk membuat garis.
2. Tentukan titik potong pada sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0).
3. Uji Titik: Gunakan titik (0,0). Jika pernyataannya benar (misal 0 < 5), maka arsir daerah yang memuat (0,0). Jika salah, arsir daerah seberangnya.

3. Aplikasi dalam Kehidupan (Pemodelan Matematika)

Ini adalah inti dari Kurikulum Merdeka: Deep Learning. Anda diajak mengubah soal cerita menjadi bahasa matematika.

Contoh Logika Pemodelan:

• "Harga 3 buku dan 2 pensil tidak lebih dari 15.000" → 3x + 2y ≤ 15.000
• "Selisih umur Andi dan Budi adalah 5 tahun" → x - y = 5
• "Kapasitas parkir maksimal 50 kendaraan" → x + y ≤ 50

4. Analisis Solusi

Tidak semua sistem persamaan memiliki satu jawaban pasti. Ada tiga kemungkinan hasil:

1. Solusi Tunggal: Garis-garis berpotongan di satu titik (x, y, z).
2. Banyak Solusi: Garis-garisnya berhimpit (persamaan yang satu adalah kelipatan persamaan lainnya).
3. Tidak Ada Solusi: Garis-garisnya sejajar, sehingga tidak pernah bertemu.

Dalam SPLTV, kuncinya adalah konsistensi. Jika di awal Anda memutuskan mengeliminasi variabel z, maka pada pasangan persamaan kedua, Anda juga harus mengeliminasi z. Jangan berganti-ganti variabel di tengah jalan karena akan membuat hitungan berputar-putar.

Soal Latihan dan Jawaban

SOAL CERITA SPLTV

Sebuah toko alat tulis menjual paket alat tulis dengan harga sebagai berikut:

• Paket Hemat: 3 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus = Rp 21.000
• Paket Lengkap: 2 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus = Rp 19.000
• Paket Tugas: 4 buku, 1 pensil, dan 3 penghapus = Rp 26.000

Jika Budi ingin membeli 10 buku, 10 pensil, dan 10 penghapus, berapakah total uang yang harus dibayar?

JAWABAN & PEMBAHASAN

Langkah 1: 

Membuat Persamaan x = buku, y = pensil, z = penghapus

• 3x + 2y + z = 21.000
• 2x + 3y + 2z = 19.000
• 4x + y + 3z = 26.000

Langkah 2: 

Mencari Harga Satuan
Dari perhitungan eliminasi, didapatkan harga satuan:

• Harga Buku (x) = Rp 5.200
• Harga Pensil (y) = Rp 2.200
• Harga Penghapus (z) = Rp 1.000

Langkah 3: 

Menghitung Total Belanja Budi 

Budi membeli masing-masing 10 buah: 

• = 10 × (5.200 + 2.200 + 1.000) 
• = 10 × (8.400) 
• = Rp 84.000