Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik pusat tertentu. Pada tingkat SMA Kelas 11, kita akan mempelajari lingkaran melalui persamaan aljabar di koordinat Kartesius.
1. Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran ditentukan oleh letak titik pusat dan panjang jari-jarinya (r).
A. Pusat di O(0, 0)
Jika lingkaran berpusat di titik asal, persamaannya sangat sederhana:
x² + y² = r²
B. Pusat di P(a, b)
Jika pusatnya bergeser ke koordinat tertentu, persamaannya menjadi:
(x - a)² + (y - b)² = r²
C. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Selain bentuk di atas, persamaan lingkaran sering ditulis dalam bentuk panjang:
x² + y² + Ax + By + C = 0
Dari bentuk umum ini, kita bisa mencari pusat dan jari-jari:
- Pusat: P(-1/2 A, -1/2 B)
- Jari-jari (r): √[ (1/2 A)² + (1/2 B)² - C ]
2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Untuk mengetahui apakah sebuah titik (x1, y1) berada di dalam, pada, atau di luar lingkaran, kita cukup memasukkan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran (K):
- K < r² : Titik berada di dalam lingkaran.
- K = r² : Titik berada pada lingkaran (tepat di garis).
- K > r² : Titik berada di luar lingkaran.
3. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Untuk mengetahui posisi garis terhadap lingkaran, kita menggunakan nilai Diskriminan (D) dari hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran:
- D > 0 : Garis memotong lingkaran di dua titik.
- D = 0 : Garis menyinggung lingkaran di satu titik.
- D < 0 : Garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.
4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGSL)
Ini adalah materi yang paling sering muncul di ujian.
- Jika diketahui titik singgung (x1, y1) pada lingkaran x² + y² = r²:
- x1·x + y1·y = r²
- Jika diketahui gradien (m):
- y - b = m(x - a) ± r √(m² + 1)
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 3) dan memiliki jari-jari 5!
Jawaban:
Gunakan rumus pusat (a, b):
- (x - a)² + (y - b)² = r²
- (x - 2)² + (y - 3)² = 5²
- (x - 2)² + (y - 3)² = 25
Jika dijabarkan ke bentuk umum:
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 25 x² + y² - 4x - 6y - 12
= 0