Turunan fungsi atau Diferensial adalah cabang kalkulus yang mempelajari bagaimana suatu nilai fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai inputnya. Dalam kehidupan nyata, turunan digunakan untuk menghitung kecepatan, percepatan, hingga keuntungan maksimal dalam ekonomi.
1. Konsep Dasar dan Rumus Utama
Turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f'(x) (dibaca: f aksen x) atau dy/dx.
Rumus Dasar Turunan Aljabar:
- Jika f(x) = axⁿ, maka turunannya adalah: f'(x) = n . axⁿ⁻¹
Contoh Cepat:
- f(x) = 5x³, maka f'(x) = 3 . 5x³⁻¹ = 15x²
- f(x) = 10x, maka f'(x) = 10
- f(x) = 7 (angka tanpa variabel), maka f' (x) = 0
2. Aturan Operasi Turunan
Dalam mengerjakan soal yang lebih kompleks, kamu wajib menguasai aturan main berikut:
A. Aturan Penjumlahan & Pengurangan
Jika fungsi terdiri dari beberapa suku, turunkan masing-masing suku secara mandiri.
- f(x) = u + v → f'(x) = u' + v'
B. Aturan Perkalian (u . v)
Jika fungsi berbentuk perkalian dua variabel:
- f(x) = u . v → f'(x) = u'v + uv'
C. Aturan Pembagian (u / v)
Jika fungsi berbentuk pembagian:
- f(x) = u / v → f'(x) = (u'v - uv') / v²
D. Aturan Rantai (Fungsi Komposisi)
Digunakan untuk fungsi yang berada di dalam pangkat, misalnya f(x) = (u)ⁿ.
- f'(x) = n . (u)ⁿ⁻¹ . u'
3. Turunan Fungsi Trigonometri
Bagi siswa kelas 12, menghafal turunan dasar trigonometri adalah wajib:
- f(x) = sin x → f'(x) = cos x
- f(x) = cos x → f'(x) = -sin x
- f(x) = tan x → f'(x) = sec² x
Rumus Pengembangan: Jika di dalam Sin atau Cos terdapat fungsi lain, misalnya f(x) = sin(ax + b), maka:
- f'(x) = a . cos(ax + b)
4. Aplikasi Turunan dalam Soal Cerita
Turunan bukan hanya angka, tapi memiliki fungsi nyata yang sering keluar di ujian:
A. Garis Singgung Kurva
Turunan pertama f'(x) adalah Gradien (m) dari garis singgung kurva di titik tertentu.
m = f'(x₁)
B. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
- Fungsi Naik jika: f'(x) > 0
- Fungsi Turun jika: f'(x) < 0
- Titik Stasioner (puncak/lembah) terjadi jika: f'(x) = 0
C. Nilai Maksimum dan Minimum
Untuk mencari nilai tertinggi atau terendah dalam suatu masalah (misal: luas lahan maksimal), gunakan syarat stasioner f'(x) = 0, lalu cari nilai x-nya dan masukkan kembali ke fungsi awal f(x).
Latihan Soal dan Pembahasan
Soal 1 (Aturan Rantai):
Tentukan turunan dari f(x) = (3x² + 5)⁴.
Pembahasan:
Misal u = 3x² + 5, maka u' = 6x.
- f'(x) = 4 . (3x² + 5)³ . 6x
- f'(x) = 24x (3x² + 5)³
Soal 2 (Perkalian):
Tentukan turunan f(x) = x² . sin x.
Pembahasan:
- u = x² → u' = 2x
- v = sin x → v' = cos x
- f'(x) = u'v + uv'
- f'(x) = 2x . sin x + x² . cos x
Turunan adalah tentang memahami pola. Jika kamu sudah hafal rumus dasar aljabar dan trigonometri, serta paham kapan harus menggunakan aturan rantai, maka bab ini akan terasa sangat mudah.
Tips: Selalu periksa apakah ada bentuk akar (√). Jika ada, ubah dulu menjadi pangkat pecahan (x¹/²) sebelum diturunkan.