Soal 1: Dasar Aljabar Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 7.
Jawaban: 12x² - 4x + 5
Pembahasan:
- Gunakan rumus dasar nxⁿ⁻¹
- Turunan 4x³ adalah 3 x 4x² = 12x²
- Turunan -2x² adalah 2 x -2x = -4x
- Turunan 5x adalah 5
- Turunan konstanta -7 adalah 0
Soal 2: Aturan Rantai Tentukan turunan dari f(x) = (2x - 3)⁵.
Jawaban: 10(2x - 3)⁴
Pembahasan:
- Turunkan pangkat luarnya dulu, terus dikali turunan njero kurung.
- Turunan pangkat: 5(2x - 3)⁴
- Turunan dalam kurung (2x - 3) adalah 2
- Hasil akhir: 5 x 2 x (2x - 3)⁴ = 10(2x - 3)⁴
Soal 3: Turunan Trigonometri Tentukan turunan dari f(x) = 3 sin x + 2 cos x.
Jawaban: 3 cos x - 2 sin x
Pembahasan:
- Turunan sin x adalah cos x
- Turunan cos x adalah -sin x
- Jadi: 3(cos x) + 2(-sin x) = 3 cos x - 2 sin x
Soal 4: Aturan Perkalian (u . v) Tentukan turunan dari f(x) = x² . cos x.
Jawaban: 2x cos x - x² sin x
Pembahasan:
- Misalkan u = x² (u' = 2x) dan v = cos x (v' = -sin x).
- Rumus: u'v + uv'
- = (2x)(cos x) + (x²)(-sin x)
- = 2x cos x - x² sin x.
Soal 5: Gradien Garis Singgung Tentukan gradien garis singgung kurva y = x² + 3x - 1 pada titik berabsis x = 1.
Jawaban: 5
Pembahasan:
- Gradien (m) adalah nilai turunan pertama (y') di titik tersebut.
- y' = 2x + 3
- Substitusi x = 1 -> m = 2(1) + 3 = 5
Soal 6: Fungsi Naik Pada interval berapakah fungsi f(x) = x² - 6x + 8 akan naik?
Jawaban: x > 3
Pembahasan:
- Syarat fungsi naik adalah f'(x) > 0
- 2x - 6 > 0
- 2x > 6 -> x > 3
Soal 7: Aturan Pembagian (u / v) Tentukan turunan dari f(x) = 2x / (x + 1).
Jawaban: 2 / (x + 1)²
Pembahasan:
- Misalkan u = 2x (u' = 2) dan v = x + 1 (v' = 1)
- Rumus: (u'v - uv') / v²
- = ((2)(x + 1) - (2x)(1)) / (x + 1)²
- = (2x + 2 - 2x) / (x + 1)²
- = 2 / (x + 1)²
Soal 8: Titik Stasioner Tentukan titik stasioner dari fungsi f(x) = x² - 4x + 3.
Jawaban: (2, -1)
Pembahasan:
Syarat stasioner adalah f'(x) = 0
- 2x - 4 = 0
- 2x = 4
- x = 2
- Cari nilai y dengan substitusi x = 2 ke fungsi awal:
- f(2) = 2² - 4(2) + 3
- = 4 - 8 + 3
- = -1
Soal 9: Turunan Bentuk Akar Tentukan turunan dari f(x) = √x.
Jawaban: 1 / (2√x)
Pembahasan:
- Ubah √x menjadi x pangkat 1/2
- Turunannya menjadi 1/2 x pangkat -1/2
- Pindahkan ke bawah agar pangkat jadi positif:
- 1 / (2x pangkat 1/2) = 1 / (2√x)
Soal 10: Turunan Kedua Tentukan turunan kedua dari fungsi f(x) = x⁴ - 5x² + 2
Jawaban: 12x² - 10
Pembahasan:
- Turunan pertama (f'(x)): 4x³ - 10x
- Turunan kedua (f''(x)): 3 . 4x² - 10 = 12x² - 10