Memahami konsep Relasi dan Fungsi merupakan fondasi penting dalam matematika tingkat Sekolah Menengah Pertama (SMP). Pada Bab 4 ini, siswa akan mempelajari bagaimana hubungan antara dua himpunan data terbentuk dan bagaimana merumuskannya secara matematis.
Berikut adalah rangkuman materi lengkap mengenai pengertian, perbedaan, serta cara menyajikan relasi dan fungsi.
A. Memahami Konsep Relasi
Dalam matematika, konsep relasi sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari, seperti hubungan kekerabatan atau hobi.
1. Pengertian Relasi
Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota satu himpunan dengan anggota-anggota himpunan lainnya. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Catatan: Dalam relasi, tidak ada aturan khusus yang mengharuskan setiap anggota A memiliki pasangan, atau pasangannya harus tunggal.
2. Cara Menyajikan Relasi
Terdapat tiga cara standar untuk menyajikan sebuah relasi, yaitu:
- Diagram Panah: Menggunakan kurva tertutup dan anak panah untuk menunjukkan hubungan antar anggota.
- Diagram Kartesius: Menggunakan sumbu mendatar (horizontal) untuk himpunan A dan sumbu tegak (vertikal) untuk himpunan B. Titik pertemuan menunjukkan relasinya.
- Himpunan Pasangan Berurutan: Menuliskan pasangan anggota dalam bentuk kurung.
- Contoh: {(1, A), (2, B), (3, C)}
B. Memahami Konsep Fungsi (Pemetaan)
Fungsi atau pemetaan adalah bentuk relasi yang lebih spesifik dan memiliki aturan yang lebih ketat dibandingkan relasi biasa.
1. Pengertian Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Syarat utama sebuah fungsi adalah:
- Semua anggota himpunan A (daerah asal) harus memiliki pasangan (tidak boleh jomblo).
- Setiap anggota himpunan A hanya boleh memiliki satu pasangan di himpunan B (tidak boleh selingkuh).
2. Istilah Penting dalam Fungsi
Dalam mempelajari fungsi, terdapat tiga istilah dasar yang wajib diketahui:
- Domain (Daerah Asal): Seluruh anggota himpunan A.
- Kodomain (Daerah Kawan): Seluruh anggota himpunan B.
- Range (Daerah Hasil): Anggota himpunan B yang terpilih atau memiliki pasangan dari himpunan A.
3. Menghitung Banyaknya Pemetaan
Jika banyaknya anggota himpunan A ditulis sebagai n(A) dan banyaknya anggota himpunan B ditulis sebagai n(B), maka rumus untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin adalah:
- Pemetaan dari A ke B = n(B) pangkat n(A)
- Pemetaan dari B ke A = n(A) pangkat n(B)
C. Korespondensi Satu-satu
Korespondensi satu-satu adalah tingkatan hubungan yang lebih khusus daripada fungsi biasa.
1. Pengertian
Suatu fungsi disebut korespondensi satu-satu jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B, dan sebaliknya, setiap anggota himpunan B berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan A.
2. Syarat Utama
Syarat mutlak agar dua himpunan dapat membentuk korespondensi satu-satu adalah jumlah anggota kedua himpunan harus sama.
n(A) = n(B)
3. Rumus Banyaknya Korespondensi
Jika n(A) = n(B) = n, maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi adalah perkalian faktorial:
n x (n-1) x (n-2) x ... x 1
D. Notasi dan Rumus Fungsi
Pada tingkatan kelas 8, siswa akan belajar menuliskan fungsi dalam bentuk notasi matematika dan menghitung nilainya.
1. Notasi Fungsi
Sebuah fungsi sering dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, atau h. Jika fungsi f memetakan x ke y, maka ditulis:
f : x -> y
Atau dirumuskan menjadi persamaan linear:
f(x) = ax + b
2. Menghitung Nilai Fungsi
Untuk menghitung nilai fungsi, kita cukup mengganti variabel x (daerah asal) dengan angka yang diketahui ke dalam rumus fungsi.
Contoh Soal: Diketahui rumus fungsi f(x) = 3x - 2. Tentukan nilai fungsi untuk x = 4.
Penyelesaian:
- Ambil rumus fungsinya: f(x) = 3x - 2
- Ganti setiap huruf x dengan angka 4.
- f(4) = 3(4) - 2
- f(4) = 12 - 2
- f(4) = 10
Jadi, nilai fungsi untuk x = 4 adalah 10.
Materi Bab 4 Matematika Kelas 8 mengajarkan perbedaan mendasar antara relasi dan fungsi. Poin kuncinya adalah: Setiap fungsi pasti merupakan relasi, tetapi tidak setiap relasi merupakan fungsi. Pemahaman tentang Domain, Kodomain, dan Range sangat krusial untuk menyelesaikan soal-soal pada bab ini.