Soal 1: Persamaan Lingkaran Pusat (0,0)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3, -4).
Jawaban: x² + y² = 25
Pembahasan:
- Rumus dasar adalah x² + y² = r²
- Masukkan titik (3, -4) untuk mencari r²:
- r² = (3)² + (-4)²
- r² = 9 + 16
- r² = 25
Maka persamaannya x² + y² = 25.
Soal 2: Persamaan Lingkaran Pusat (a,b)
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan (x - 2)² + (y + 5)² = 36.
Jawaban: Pusat (2, -5) dan jari-jari 6.
Pembahasan:
- Dari bentuk (x - a)² + (y - b)² = r², kita dapatkan a = 2 dan b = -5
- Jari-jari r = √36 = 6
Soal 3: Bentuk Umum Lingkaran
Tentukan titik pusat dari lingkaran x² + y² - 4x + 8y - 5 = 0.
Jawaban: Pusat (2, -4)
Pembahasan:
- Pusat P = (-A/2, -B/2).
- Dengan A = -4 dan B = 8, maka P = (-(-4)/2, -8/2) = (2, -4)
Soal 4: Jari-jari dari Bentuk Umum
Berapakah jari-jari lingkaran x² + y² + 2x - 6y - 15 = 0?
Jawaban: 5
Pembahasan:
- r = √[(-A/2)² + (-B/2)² - C]
- Pusatnya adalah (-1, 3). Maka,
- r = √[(-1)² + (3)² - (-15)]
- r = √[1 + 9 + 15]
- r = √25
- r = 5
Soal 5: Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Tentukan kedudukan titik (5, 2) terhadap lingkaran x² + y² = 25.
Jawaban: Di luar lingkaran.
Pembahasan:
- Substitusi titik ke persamaan:
- 5² + 2² = 25 + 4 = 29
Karena 29 > 25, maka titik berada di luar lingkaran.
Soal 6: Garis Singgung di Titik pada Lingkaran
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 di titik (2, 3).
Jawaban: 2x + 3y = 13
Pembahasan:
- Gunakan rumus x.x1 + y.y1 = r²
- Substitusi (2, 3) sebagai x1 dan y1
- sehingga menjadi 2x + 3y = 13.
Soal 7: Persamaan Parabola Tentukan fokus dari parabola dengan persamaan y² = 12x.
Jawaban: Fokus (3, 0)
Pembahasan:
- Bentuk umum y² = 4px
- Maka 4p = 12, sehingga p = 3
Fokus parabola y² = 4px adalah (p, 0), jadi fokusnya (3, 0).
Soal 8: Persamaan Elips
Tentukan panjang sumbu mayor dari elips (x²/25) + (y²/9) = 1.
Jawaban: 10
Pembahasan:
- Nilai a² = 25, maka a = 5
- Panjang sumbu mayor adalah 2a = 2(5) = 10
Soal 9: Persamaan Hiperbola
Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola (x²/16) - (y²/9) = 1.
Jawaban: y = ± (3/4)x
Pembahasan:
Dari persamaan,
- a² = 16
- a = 4
- b² = 9
- b =3
Rumus asimtot hiperbola horizontal adalah y = ± (b/a)x , maka y = ± (3/4)x
Soal 10 : Garis Singgung dengan Gradien
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 10 yang memiliki gradien m = 3.
Jawaban: y = 3x ± 10
Pembahasan:
- Rumus: y = mx ± r √(m² + 1)
- Dengan r = √10 dan m = 3, maka:
- y = 3x ± √10 √(3² + 1)
- y = 3x ± √10 √10
- y = 3x ± 10